最小公倍数和最大公因数：求法与例题
什么是倍数和因数，怎样用列举法和分解质因数求最小公倍数和最大公因数，两者的关系，例题和实际用途。
作者: Polarzinho ·
两盏小灯在闪，一盏每 4 秒闪一次，一盏每 6 秒闪一次。它们什么时候会再一次同时闪？这个问题的答案就是最小公倍数。而当我想把竹子平均分成几堆、一根都不剩的时候，就要用到最大公因数。
这篇文章讲倍数和因数是什么、求最小公倍数和最大公因数的两种方法、两者之间的关系，还有能在脑子里验证的例子。
倍数和因数
- 一个数的倍数：它的乘法口诀表里的结果。4 的倍数：4、8、12、16、20、24……
- 一个数的因数：能整除它、没有余数的数。12 的因数：1、2、3、4、6、12。
什么是最小公倍数？
最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的一个（大于零）。
- 4 的倍数：4、8、12、16、20、24……
- 6 的倍数：6、12、18、24、30、36……
- 两个列表里第一个相同的数是 12。所以 4 和 6 的最小公倍数是 12。
回到那两盏灯：一盏每 4 秒闪一次，另一盏每 6 秒闪一次，它们每 12 秒同时闪一次。
什么是最大公因数？
最大公因数是几个数公有的因数中最大的一个，也就是能同时整除这几个数的最大的数。
- 12 的因数：1、2、3、4、6、12。
- 18 的因数：1、2、3、6、9、18。
- 公有的因数是 1、2、3 和 6，最大的是 6。所以 12 和 18 的最大公因数是 6。
用分解质因数来求
把每个数分解成质因数的乘积：12 = 2 × 2 × 3，18 = 2 × 3 × 3。
- 最小公倍数：把所有出现过的质因数都乘起来，每个质因数取次数最多的那个。2² × 3² = 36。
- 最大公因数：只乘公有的质因数，每个取次数最少的那个。2 × 3 = 6。
最小公倍数和最大公因数的关系
对于两个数，最小公倍数 × 最大公因数 = 这两个数的乘积。验证：36 × 6 = 216，12 × 18 = 216。
更多例子
- 48 和 36 的最大公因数是 12，最小公倍数是 144。
- 4、6 和 10 的最小公倍数是 60。
- 8 和 20 的最大公因数是 4，最小公倍数是 40。
它们有什么用
- 最小公倍数：计算分母不同的分数加法。在 1/4 + 1/6 里，分母的最小公倍数是 12，所以算式变成 3/12 + 2/12 = 5/12。
- 最小公倍数：找出两个周期性重复的事件什么时候再次同时发生，比如信号灯、公交车或齿轮。
- 最大公因数：给分数约分。在 12/18 里，最大公因数是 6，分数就化成了 2/3。
- 最大公因数：平均分成若干组，一个也不剩。
在 Pinloop 里等缺口
在 Pinloop 里，圆环不停地转，你要等到合适的缺口，才把针插进去。这是一款考验时机的游戏：你要跟着一个会重复的旋转，有点像是在找周期性重复事件的最小公倍数。
Polarzinho等缺口，就是我个人的最小公倍数。
常见问题
什么是最小公倍数？
几个数公有的倍数中最小的一个（大于零）。
什么是最大公因数？
能同时整除这几个数的最大的数。
4 和 6 的最小公倍数是多少？
12。
12 和 18 的最大公因数是多少？
6。
轮到你了
求 8 和 20 的最小公倍数和最大公因数。答案：最小公倍数 40，最大公因数 4。验证一下，二者相乘是不是 160。