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最小公倍數與最大公因數：是什麼、怎麼求

什麼是倍數與因數，如何用列舉法與質因數分解求出 LCM（最小公倍數）與 GCF（最大公因數），兩者的關係、例題與實際用途。

作者： Polarzinho ·

Polarzinho 手持遊戲手把，站在藍色與粉紅色的齒輪之間，齒輪反向轉動，兩盞閃爍的燈塔一藍一粉

兩盞小燈會閃爍，一盞每 4 秒亮一次，另一盞每 6 秒亮一次。它們什麼時候會再次同時亮起？這就是 LCM 要回答的問題。而當我想把竹子分成數量相等的小堆、而且不剩一根時，GCF 就派上用場了。

這裡會說明什麼是倍數與因數、求 LCM 與 GCF 的兩種方法、兩者的關係，以及可以在腦中驗算的例子。

開玩 Pinloop

倍數與因數

  • 一個數的倍數：它的乘法表上的結果。4 的倍數：4、8、12、16、20、24……
  • 一個數的因數：能整除它、而且沒有餘數的數。12 的因數：1、2、3、4、6、12。

什麼是 LCM？

LCM 是最小公倍數：同時是兩個或多個數的倍數、而且大於零的最小的數。

  • 4 的倍數：4、8、12、16、20、24……
  • 6 的倍數：6、12、18、24、30、36……
  • 兩個列表中第一個共同的數是 12。所以 LCM(4, 6) = 12。

回到那兩盞燈：一盞每 4 秒亮一次，另一盞每 6 秒亮一次，它們每 12 秒會同時亮起。

什麼是 GCF？

GCF 是最大公因數（也叫 GCD，即最大公約數）：同時整除兩個或多個數、而且最大的那個數。

  • 12 的因數：1、2、3、4、6、12。
  • 18 的因數：1、2、3、6、9、18。
  • 共同的因數是 1、2、3 和 6，最大的是 6。所以 GCF(12, 18) = 6。

用質因數分解

把每個數拆成質數：12 = 2 × 2 × 3，18 = 2 × 3 × 3。

  • LCM：把所有因數相乘，每個質因數取最高次方。2² × 3² = 36。
  • GCF：只把共同的質因數相乘，每個取最低次方。2 × 3 = 6。

LCM 與 GCF 的關係

對兩個數來說，LCM × GCF 等於這兩個數的乘積。驗算：36 × 6 = 216，而 12 × 18 = 216。

更多例子

  • GCF(48, 36) = 12，LCM(48, 36) = 144。
  • LCM(4, 6, 10) = 60。
  • GCF(8, 20) = 4，LCM(8, 20) = 40。

它們的用途

  • LCM：通分。在 1/4 + 1/6 中，分母的 LCM 是 12，所以變成 3/12 + 2/12 = 5/12。
  • LCM：找出兩個重複發生的事件何時再次同時發生，例如燈號、公車或齒輪。
  • GCF：約分。在 12/18 中，GCF 是 6，分數就變成 2/3。
  • GCF：分成數量相等的組，而且不剩餘。

在 Pinloop 等待空隙

在 Pinloop 裡，圓環會旋轉，你要等到適當的空隙才能把針插進去。這是一款抓時機的遊戲：你要跟著重複出現的旋轉節奏，有點像重複事件的 LCM。

Pinloop 第 3 回合：一根切開的圓木正在旋轉，圓環上已插著兩根螺絲，下方提示 Wait for a gap（等待空隙）
Pinloop：「Wait for a gap」提示。
Pinloop 第 13 回合，圓環幾乎插滿：十幾根針與螺絲圍著一團粉紅色毛線球，角落有 New best 73 徽章

Polarzinho等待空隙是我個人的最小公倍數。

Pinloop：第 13 回合，圓環幾乎插滿。

常見問題

什麼是 LCM？

最小公倍數：同時是所有給定數的倍數、而且大於零的最小的數。

什麼是 GCF？

最大公因數：能整除所有給定數的最大的數。

4 和 6 的 LCM 是多少？

12。

12 和 18 的 GCF 是多少？

6。

輪到你了

求 8 和 20 的 LCM 與 GCF。答案：LCM = 40，GCF = 4。再驗算 LCM × GCF 是否等於 160。

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