최소공배수와 최대공약수 구하는 방법

작은 불빛 두 개가 깜빡여요. 하나는 4초마다, 다른 하나는 6초마다요. 둘은 언제 다시 함께 깜빡일까요? 이 질문이 바로 최소공배수예요. 그리고 대나무를 남김없이 똑같은 더미로 나누고 싶을 때는 최대공약수가 도와줘요.

여기서는 배수와 약수가 무엇인지, 최소공배수와 최대공약수를 구하는 두 가지 방법, 둘의 관계, 암산으로 확인할 수 있는 예시를 알려 드려요.

플레이 Pinloop

배수와 약수

• 어떤 수의 배수: 그 수의 구구단 결과들이에요. 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
• 어떤 수의 약수: 그 수를 나머지 없이 나누는 수들이에요. 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

최소공배수란?

최소공배수(LCM)는 둘 이상의 수에 공통인 배수 가운데 0보다 큰 가장 작은 수예요.

• 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
• 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
• 두 목록에 처음 함께 나오는 수는 12예요. 그래서 LCM(4, 6) = 12.

불빛 이야기로 돌아가면, 하나는 4초마다 깜빡이고 다른 하나는 6초마다 깜빡이니까 둘은 12초마다 함께 깜빡여요.

최대공약수란?

최대공약수(GCD, 영어권에서는 GCF라고도 해요)는 둘 이상의 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 수예요.

• 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• 공통인 약수는 1, 2, 3, 6이고 가장 큰 수는 6이에요. 그래서 GCD(12, 18) = 6.

소인수분해로 구하기

각 수를 소수의 곱으로 나눠요. 12 = 2 × 2 × 3, 18 = 2 × 3 × 3.

• 최소공배수: 모든 소인수를 가장 큰 지수로 골라 곱해요. 2² × 3² = 36.
• 최대공약수: 공통인 소인수만 가장 작은 지수로 골라 곱해요. 2 × 3 = 6.

최소공배수와 최대공약수의 관계

두 수에서는 최소공배수 × 최대공약수 = 두 수의 곱이에요. 확인해 볼게요. 36 × 6 = 216이고, 12 × 18 = 216이에요.

예시 더 보기

• GCD(48, 36) = 12, LCM(48, 36) = 144.
• LCM(4, 6, 10) = 60.
• GCD(8, 20) = 4, LCM(8, 20) = 40.

어디에 쓸까요?

• 최소공배수: 분모가 다른 분수의 덧셈. 1/4 + 1/6에서 분모의 최소공배수는 12이므로 3/12 + 2/12 = 5/12가 돼요.
• 최소공배수: 반복되는 두 사건이 언제 다시 만나는지 알아낼 때. 불빛, 버스, 톱니바퀴가 그래요.
• 최대공약수: 분수의 약분. 12/18에서 최대공약수는 6이므로 분수는 2/3이 돼요.
• 최대공약수: 남는 것 없이 똑같은 묶음으로 나눌 때.

Pinloop에서 빈틈 기다리기

Pinloop에서는 고리가 돌고, 핀을 꽂을 알맞은 빈틈을 기다려요. 반복되는 회전을 따라가는 타이밍 게임이라서 반복되는 사건의 최소공배수와 조금 닮았어요.

Polarzinho빈틈을 기다리는 건 저만의 최소공배수예요.

자주 묻는 질문

최소공배수란 무엇인가요?

주어진 모든 수의 공통인 배수 가운데 0보다 큰 가장 작은 수예요.

최대공약수란 무엇인가요?

주어진 모든 수를 나눌 수 있는 가장 큰 수예요.

4와 6의 최소공배수는 얼마인가요?

12예요.

12와 18의 최대공약수는 얼마인가요?

6이에요.

직접 풀어 보세요

8과 20의 최소공배수와 최대공약수를 구해 보세요. 정답: 최소공배수 = 40, 최대공약수 = 4예요. 최소공배수 × 최대공약수가 160이 되는지 확인해 보세요.

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