最小公倍数と最大公約数の求め方
倍数と約数とは何か、最小公倍数と最大公約数の求め方（書き出す方法と素因数分解）、2つの関係、計算例、どんなときに使うのかを解説します。
書いた人: Polarzinho ·
小さな2つのライトが点滅しています。1つは4秒ごと、もう1つは6秒ごと。次に同時に光るのはいつでしょう？ この問いの答えが最小公倍数です。また、竹を余らせずに同じ山に分けたいときは、最大公約数が役に立ちます。
ここでは倍数と約数とは何か、最小公倍数と最大公約数の2通りの求め方、その関係、そして暗算で確かめられる例を紹介します。
倍数と約数
- ある数の倍数：その数の九九の答え。4の倍数は、4、8、12、16、20、24……。
- ある数の約数：その数をわり切れる数。12の約数は、1、2、3、4、6、12。
最小公倍数とは？
最小公倍数とは、2つ以上の数に共通する倍数のうち、0より大きい最も小さい数のことです。
- 4の倍数：4、8、12、16、20、24……
- 6の倍数：6、12、18、24、30、36……
- 両方に最初に出てくるのは12。だから、4と6の最小公倍数は12です。
ライトの話にもどると、4秒ごとと6秒ごとに光る2つのライトは、12秒ごとに同時に光ります。
最大公約数とは？
最大公約数とは、2つ以上の数に共通する約数のうち、最も大きい数のことです。
- 12の約数：1、2、3、4、6、12。
- 18の約数：1、2、3、6、9、18。
- 共通するのは1、2、3、6で、最も大きいのは6。だから、12と18の最大公約数は6です。
素因数分解を使う方法
それぞれの数を素数の積に分けます。12 = 2 × 2 × 3、18 = 2 × 3 × 3。
- 最小公倍数：すべての素数を、いちばん多く出てくる回数ずつかけます。2² × 3² = 36。
- 最大公約数：共通する素数だけを、いちばん少ない回数ずつかけます。2 × 3 = 6。
最小公倍数と最大公約数の関係
2つの数では、最小公倍数 × 最大公約数 ＝ 2つの数の積になります。確かめてみましょう。36 × 6 = 216、12 × 18 = 216。
ほかの例
- 48と36の最大公約数は12、最小公倍数は144。
- 4、6、10の最小公倍数は60。
- 8と20の最大公約数は4、最小公倍数は40。
どんなときに使う？
- 最小公倍数：分母がちがう分数のたし算。1/4 + 1/6では、分母の最小公倍数が12なので、3/12 + 2/12 = 5/12になります。
- 最小公倍数：くり返す2つの出来事が、次にそろうのはいつかを知る（ライト、バス、歯車など）。
- 最大公約数：分数の約分。12/18では、最大公約数が6なので、2/3になります。
- 最大公約数：あまりが出ないように、同じ数ずつのグループに分ける。
Pinloopですきまを待つ
Pinloopでは、リングが回るので、ピンを刺せるちょうどいいすきまを待ちます。タイミングのゲームで、くり返す回転を追いかけるところは、くり返す出来事の最小公倍数に少し似ています。
Polarzinhoすきまを待つのが、ぼく流の最小公倍数さ。
よくある質問
最小公倍数とは何ですか？
与えられたすべての数の倍数になっている、0より大きい最も小さい数です。
最大公約数とは何ですか？
与えられたすべての数をわり切れる、最も大きい数です。
4と6の最小公倍数は？
12です。
12と18の最大公約数は？
6です。
やってみよう
8と20の最小公倍数と最大公約数を求めてみましょう。答え：最小公倍数は40、最大公約数は4です。最小公倍数 × 最大公約数が160になることも確かめてみてください。